要说最大堆和最小堆，就得先知道最大树和最小树。
每个结点的值都大于（小于）或等于其子节点（如果有的话）值的树，就叫最大（最小）树。
最大堆（最小堆）是最大（最小）完全树。
由于堆是完全二叉树，所以可以用公式化描述，用一维数组来有效的描述堆结构。
利用二叉树的性质：
如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第1层到第[log2n]向下取整+1层，每层从左到右),则对任一结点i（1≤i≤n),有：
（1）如果i＝1，则结点i无双亲，是二叉树的根；如果i>1，则其双亲是结点[i／2]向下取整。
（2）如果2i>n，则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子是结点2i。
（3）如果2i＋1>n，则结点i无右孩子；否则，其右孩子是结点2i＋1。
这样就就可以将堆中结点移到它的父节点或者其中一个子节点处。
堆中进行的操作主要是：插入，删除，以及初始化。
下面只讨论最大堆。
在最大堆中进行插入操作，例如在下图所示的左边的最大堆中进行插入，插入后结构应该是和右边的图一样的。
插入时，现将新元素从新堆的父节点开始比较，也就是先从2所在结点开始比较，如果小于父节点的值，那么就直接作为孩子结点插入，如果大于，那么就要现将父节点下移，然后再和父节点的父节点比较，一直比较到根节点为止，所以插入过程，是从叶节点到根的一条路径。
最大堆的删除，从最大堆的删除时，该元素从根部移出。删除后，此时堆需要重新构造，以便于仍然为完全二叉树。例如下图：
先将根节点的值20取出后，为了结构仍然是二叉树，所以直接将最后一个结点，也就是保存2的结点去掉，然后将2的值保存下来，然后呢，就从根节点的两个孩子开始比较，看看2 根的左右孩子，这三个元素中，谁最大，那么根节点的值就是谁，然后就将2和空出来的结点的左右孩子(如果有的话)比较，确认子树的根节点的值，这样一步一步确认下去。
用数组初始化堆，数组元素显示按照下面的顺序，一个一个放在结点中
然后就从最后一个父节点开始，就是第五个结点，10所在的位置啦，从那里开始构造以该节点为根的最大堆。构造好后就移到下一个结点，15所在结点，以此类推，一直到根节点。
下面是代码：
文件"maxheap.h"
#include <iostream>
using namespace std;
template <class T>
class MaxHeap
{
private:
T *heap;
int CurSize;
int MaxSize;
public:
MaxHeap(int maxsize=10)
{
MaxSize=maxsize;
CurSize=0;
heap=new T[MaxSize+1];
}
~MaxHeap()
{
delete[]heap;
}
int Get_Size() const
{
return CurSize;
}
T Get_Max()
{
if(CurSize==0)
{
cout<<"堆为空"<<endl;
return -9999;
}
else
{
return heap[1];
}
}
MaxHeap<T> &Insert(const T& x)
{
if(CurSize==MaxSize)
{
cout<<"堆满，"<<x<<" 插入失败"<<endl;
return *this;
}
//为x寻找应插入位置
//i从新的叶子结点开始，沿着树向上
int i=++CurSize;
while(i!=1 && x>heap[i/2])
{
heap[i]=heap[i/2]; //将元素下移
i/=2; //移向父节点
}
heap[i]=x;
cout<<x<<" 插入成功"<<endl;
return *this;
}
MaxHeap<T> &DeleteMax(T& x)
{
//将最大元素放入x，并从堆中删除它
if(CurSize==0)
{
x=-9999;
return *this;
}
x=heap[1];
//重构堆
heap[0]=heap[CurSize--]; //0号位置存放最后一个元素值，然后将该位置删除
//从根开始，为heap[0]寻找合适位置
int i=1;
int ci=2;
while(ci<=CurSize)
{
//ci是较大的孩子的位置
if(ci<CurSize && heap[ci]<heap[ci+1])
ci++;
//判断是否可以放入heap[i]位置
if(heap[0]>heap[ci])
break;
//不能
heap[i]=heap[ci];
i=ci; // 下移一层
ci*=2;
}
heap[i]=heap[0];
return *this;
}
void Init_heap(T a[],int size,int maxsize)
{
delete[]heap;
heap=new T[maxsize+1];
CurSize=size;
MaxSize=maxsize;
for(int j=1;j<size+1;j++)
heap[j]=a[j];
//产生一个最大堆
for(int i=CurSize/2;i>=1;i--)
{
T y=heap[i]; //子树的根
//寻找放置y的位置
int c=2*i;
while(c<=CurSize)
{
if(c<CurSize && heap[c]<heap[c+1])
c++;
if(y>=heap[c])
break;
heap[c/2]=heap[c];
c*=2;
}
heap[c/2]=y;
}
}
};
测试文件"main.cpp"
#include "maxheap.h"
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
MaxHeap<int> hp;
int a[11]={-111,5,2,12,3,55,21,7,9,11,9};
cout<<"用数组a来初始化堆："<<endl;
for(int i=1;i<11;i++)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
hp.Init_heap(a,10,15);
int max;
cout<<"目前堆中最大值为："<<hp.Get_Max()<<endl;
hp.DeleteMax(max);
cout<<"删除的堆中最大的元素为："<<max<<endl;
cout<<"删除后，现在堆中最大的元素为："<<hp.Get_Max()<<endl;
cout<<"现在堆的大小为："<<hp.Get_Size()<<endl;
cout<<"向堆中插入新元素"<<endl;
hp.Insert(22);
hp.Insert(45);
hp.Insert(214);
hp.Insert(16);
hp.Insert(21);
hp.Insert(121);
hp.Insert(111);
cout<<"插入后现在堆的大小为："<<hp.Get_Size()<<endl;
cout<<"现在由大到小输出堆中元素"<<endl;
do
{
hp.DeleteMax(max);
if(max== -9999)
break;
cout<<max<<" ";
}while(1);
cout<<endl;
return 0;
}
测试结果：
在只是需要使用一个优先队列的时候，这种结构是十分有效率的，空间利用率也很高。但是并不适用于所有优先队列的使用，尤其是需要合并两个优先队列或多个长度不相等的队列的时候。
摘自：Kay's space Good Good Study,Day Day Up~
| 
